書記が数学やるだけ#884 停留位相法，等位相法

複素積分における漸近展開の方法を紹介する。

問題

説明

複素積分の漸近展開は，基本的にはフーリエ積分を考えることになるが，停留点を持つ場合には停留位相法，鞍点を持つ場合には等位相法（鞍点法）が有効である。

解答

停留位相法では，停留点を含む区間と含まない区間に分割してそれぞれ評価する。

コーシーの積分定理より積分路を回転させることで，ガンマ関数に帰着できる。

具体例について，これは第1種ベッセル関数の積分表示におけるn→∞への極限であり，m=3とおいてが停留位相法が適用できる。

次に等位相法について，3本の等位相線について鞍点を経由するように積分路を変更する。

これは第1種ベッセル関数の複素積分表示であり，結果は(1)と一致する。

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