書記が数学やるだけ#865 ザイフェルト–ファン・カンペンの定理を用いた基本群の計算
ザイフェルト–ファン・カンペンの定理を，具体的な基本群の計算を通しても身につけていく。
問題
説明
自由積は，2つの群 G, H から新しい群 G ∗ H を構成する操作である。ザイフェルト–ファン・カンペンの定理では，より一般化した概念である融合積を用いる。
ザイフェルト–ファン・カンペンの定理は，位相空間X の基本群の構造を，Xを被覆する弧状連結な開部分空間の基本群によって表現するもので，より単純な空間から組み立てられた空間の基本群を計算する為に使用することができる。
解答
2つの円を繋げた図形について，U,Vを図のようにとると，U,V及びその共通領域はいずれも弧状連結であることから，ザイフェルト–ファン・カンペンの定理を用いて基本群が計算できる。
複数の円を繋げた図形をブーケと呼び，この基本群は上の方法を帰納的に用いて示すことができる。
トーラスの基本群について，真ん中で分割するとU,Vの基本群は自明な群となり，共通部分だけ考えれば良い。
トーラスを2個繋げた図形は，各トーラスの自由積から計算でき，接合部分は自明となるため単に自由積を取ればよい。
実射影平面の基本群について，サイクルと道を導入して計算していく。
以上のことから，閉曲面の分類定理の後半部分である「トーラスの連結和と実射影平面の連結和は同相ではない」ことが示される。
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