書記が数学やるだけ#589 有限体における原始根

ここからは有限体の性質について見ていく。

問題

説明

有限体は，定義だけ見ると簡単そうだが，その性質は多岐にわたる。

標数とは，乗法単位元をn個足して零元になる最小のnである。例えばFpの標数はpである。

解答

乗法群は位数q-1の巡回群である。

乗法群K×の生成群を原始根という，整数論については以下記事：

(1)は上で示したことより巡回群である。あとは手で確認すると，(2)は巡回群でない，(3)は巡回群である。この法則性については次回扱う。

ここで，原始根の個数はオイラーのφ関数により表される。

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