書記が経済やるだけ#6 短期・長期の供給関数，最適生産計画の性質

今回までで供給関数の重要事項をまとめていく。

問題

説明

短期的には資本Kを変えられないが長期的には変えられる場合について，最適資本を求めていく。このとき以下のようにして短期と長期で平均費用と限界費用が図示できる。

複数の生産要素がある場合の最適生産計画について，供給法則・要素需要法則・完全分配の定理が重要である。

解答

短期総費用は，Lのみ変更できることから，労働の賃貸率と資本の賃貸率で総費用を示してLについて解いた式で表せる。

長期総費用は，Kも変更できることから，短期総費用をKについて最小化することで求められる。ここで，長期総費用曲線は短期総費用曲線の包絡線であることが言える。

以下にグラフを示す。

位置関係は以下の通り。まず，長期・短期ともに平均費用の最小点で限界費用と交わっている（長期はP，短期はQ）。yを20生産する場合，資本K=27とするのが最適であり，このときにSACとLACが一致する（交点Rで平均費用580）。また，このときSMCとLMCも一致する（交点Sで限界費用160）。さらに，長期供給曲線の方が短期供給曲線よりも価格によく反応することもわかる（ル・シャトリエの原理）。

次に最適生産計画に関する定理を証明する。

供給曲線は必ず右上がり，要素需要曲線は必ず右下がりであることは，需要曲線で行ったのと同様の議論で示せる。

フィリップ・ヘンリー・ウィックスティードは，完全競争のもとでは生産要素はその限界生産力に応じた報酬を受け取り，生産関数が規模に関して収穫不変ならば，生産物総量は各生産要素に分配されつくすことを，オイラーの定理を用いて証明した(完全分配の定理) 。

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