書記が数学やるだけ#346 2変数関数の偏微分，全微分

多変数関数の基本について確認する。

問題

説明

まず2変数関数を考える。

特に断りのない限り，以降は弧状連結であることを前提とする。

連続性の定義。

一様連続性の定義。

1変数の場合と同様に，最大値・最小値の定理を考える。

2変数以上の場合，各変数についての微分である偏微分を考える。

関数全体の変化については，全微分で示す。

2回以上の偏微分の順序について，条件を満たせば入れ替えをしても同じである。

解答

全微分について，定義の式からの変形を一度行ってみる。

「偏導関数が存在してそれらが連続ならば，微分可能である」★ことが言える。

③ について，Pythonでのグラフ描画は以下を参考にした。

偏導関数が存在してもそれらが連続でない場合，微分可能とは限らない。

こちらは，微分可能だが偏導関数は連続でない，★の逆は成り立たない例である。

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