書記が数学やるだけ#945 線形作用素の性質，共役空間

線形作用素及び共役空間の性質を確認する。

問題

説明

作用素は，写像・関数・変換などの一般化として定義される。

線型作用素において，有界と連続は同値である。

共役空間（双対空間）とは，有界線形汎関数全体の集合であり，常にバナッハ空間である。

リースの表現定理は，「ヒルベルト空間上の『連続な線形関数』は、すべて『普通の内積』の形で完全に表現できる」ことを示す。

解答

線形作用素における「X 全体で連続」「0∈X で連続」「有界作用素」の同値を示す。

B(X,Y) からコーシー列 {Tn } を任意に取ったとき、それが B(X,Y) 内の要素に収束することを示す。なお，B(X,Y)の出力先をスカラーにしたものが共役空間X*である。

リースの表現定理の証明では，射影定理が鍵となる。

写像 Φ:y↦⟨y,⋅⟩ の性質をチェックすることで，共役線形・等長性・全単射であることが示せる。

上記の結果をディラック記法に翻訳することで，すべてのブラに対応するケットが過不足なく一意に存在することが示せる。

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