書記が数学やるだけ#839 測度論における確率空間の例

測度論に基づく確率論を見ていくことにする。

問題

説明

20世紀になり，アンドレイ・コルモゴロフが『確率論の基礎概念』（1933年）において公理的確率論を確立した。確率空間は，標本空間・事象・確率測度からなり，測度論に基づき以下の条件を定義とする。

ここでσ-加法族について復習：

測度について：

確率論ならではの概念に「ほとんど確実に起こる」が挙げられる。これは測度論の「ほとんどいたるところ」の一例である。

解答

確率空間・確率測度の性質は測度論で既に扱っているので，今回は具体例を考えることにする。サイコロを1回投げる試行の標本空間・事象・確率測度は以下の通り。可算加法性の例として，1~6の出る確率の和が1であることなどが挙げられる。

事象集合の性質について。空集合と全体が含まれるのは定義より明らか。余事象も含まれることは，奇数が含まれるなら偶数も含まれることなどといった例がある。和集合も含まれることも，例を考えれば難しくないだろう。

次に確率測度の性質について。確率は非負・全事象の確率の和が1であることは定義より明らか。最後の条件は排反事象について定めている。

「ほとんど確実に」の例として，「サイコロを振り続けるといつかは必ず1が出る」ことを証明する。ここで以下の等式について，初等的な確率の定義では無限回の試行は定義できないことに注意。この問題は，可測集合としてボレル集合体などを考えることで解消される。

これさえ認めれば，あとは極限の計算により，サイコロを振り続けると「ほとんど確実に」いつかは必ず1が出ることが示せる。

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