書記が数学やるだけ#533 環と体の基本計算

今回から環と体を扱うことにする。

問題

基本計算について，与えられた条件のみで変形することが重要。

説明

環とは，「加法と乗法が与えられた集合Rについて，(1)加法に関して加法群(2)乗法に関して結合律(3)乗法単位元の存在(4)分配律」を満たすものをいう。

かけて0になるものを零因子という。

逆元を持つものを可逆元という。

解答

マイナスを直接かけることはできないが，加法は可換であるため足し算の項の入れ替えはできる。

掛け算について直接入れ替えはできないが，分配法則を利用することで式変形できる。

マイナスにマイナスをかけるとプラスになることを，環の基本から示す。

整数nを扱うときは，符号ごとに場合分けを行う。

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