書記が数学やるだけ#933 左不変ベクトル場・随伴作用の具体例

リー群の線形変換の例を説明する。

問題

説明

リー群 G の要素 g による左移動を Lg :x↦gx とする。ベクトル場 X が左不変であるとは，任意の g,x∈Gに対して，左移動の微分（押し出し）がベクトル場を保存することを指す。左不変ベクトル場全体の集合は，単位元における接空間 Te G（リー代数 g）と線形空間として同型になる。

群 G の内部自己同型（共役）は単位元 e を固定する写像である。共役写像を単位元で微分したものが，リー代数 g 上の線形写像である随伴作用 Adg  であり，群準同型写像 Ad:G→GL(g) を G の随伴表現と呼ぶ。

解答

左不変ベクトルについて，接ベクトルの写像から見た式とベクトル場全体の押し出しから見た式の同値を示す。

左不変ベクトル場同士のリーブラケットも左不変ベクトル場である。

リー群の要素がリー代数（接空間）に作用する「リー群の随伴表現」と，リー代数の要素同士が作用し合う「リー代数の随伴表現」の関係式について。

回転群 SO(2) において、左不変ベクトル場は「角度 θ による微分」という座標の動きと一致する。

ここでのリー・ブラケットが 0 になることは、回転操作が「角度の足し算」に相当し、回転させる順番を入れ替えても結果が変わらない（可換である）という性質を反映している。

一方、SL(2,R) のような群では、行列を掛ける順番（XY と YX）によって結果が異なる。この「行列の積の非可換性」が、リー・ブラケット [X,Y] が 0 にならない（非可換である）こととして現れる。

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