書記が数学やるだけ#688 双線形形式

双線形形式についていくつか具体例を見ていく。

問題

一般化であることが分かりやすいよう，関数についての例を示す。

説明

以下を満たす二変数函数を双線形形式という。

対称双線形形式は実ベクトル空間上の標準内積を一般化したものである。

エルミート形式は対称双線型形式の複素版にあたる。

解答

双線形形式について，非退化と同型が同値であることは重要。

実関数について対称双線形形式を考える。ここで，非退化と零化空間=0が同値であることを利用した。随伴写像は自己準同型の関数を代入して計算する，これはエルミート共役の一般化といえる。

エルミート形式であることは定義の条件を1つずつ確認して示す。ここでのΔはスカラー関数におけるラプラシアンであり，エルミート性を満たすことは部分積分により確認できる。

この基底はフーリエ変換などで見覚えがあるだろう。

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