書記が数学やるだけ#929 部分多様体における正則レベル集合定理

部分多様体の性質と具体例を見ていく。

問題

ここでは，正則レベル集合定理（微分可能な写像f∶M→Nの正則値y∈Nに対し、その逆像f-1(y))がMの部分多様体となる）の証明を行う。

説明

部分多様体とは，多様体 M の部分集合 S であって，それ自体も多様体構造を持つものを指す。これは，別の多様体 N からのはめ込み（immersion） f:N→M による像として定義されるほか，正則部分多様体として定義することもできる。後者は，親多様体 M の各点のまわりで適切な局所座標系を選ぶことにより，Sが n 次元空間内の平らな k 次元平面（スライス）として切り出せるような部分集合のことである。

解答

q=0 が正則値であるという仮定から，点 p∈f^{−1}(0) における微分 d_f p は全射である 。 したがって，ヤコビ行列 Df(p) のランクは値域の次元 n に等しくなる 。これより，Df(p) の n 個の列ベクトルの中に線形独立なものが必ず n 個存在し，変数を適切に並べ替えることで、最初の n 個の変数に関する偏微分をまとめた n×n 行列を正則にすることができる。

次元を m に合わせるため，新たな写像 G を構成する 。この G のヤコビ行列 DG(p) は以下に示すブロック行列となり ，その行列式はステップ(2)の議論から 0 ではないため，DG(p) も正則行列となる 。したがって，逆関数定理により，G は点 p の近傍で局所微分同相写像であることが導かれる 。この新しい局所座標系において，元の集合は m 次元空間内の m−n 個の自由度を持つ「平らな面（スライス）」として表されるため ，これが m−n 次元の部分多様体となる。

f(x,y,z)=x^2+y^2−z^2=1 で定義される集合は，勾配ベクトルがこの集合上のすべての点で 0 にならない（全射性を満たす）ため，正則レベル集合定理が適用でき，これより2次元の部分多様体であることが示せる。一方で、値が 0 の場合（x2+y2−z2=0）は，原点でランクが落ちるため，定理を適用できず部分多様体にはならない。

特殊線形群 SL(n,R)について。行列式の微分は d(det)A (H)=tr(adj(A)H) で与えられ，A∈SL(n,R) においてこの微分に H=A を代入すると結果が n≠0 となり，全射であることが示される。したがって，1 は行列式関数の正則値であり，正則レベル集合定理よりSL(n,R) は部分多様体となる。

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