書記が数学やるだけ#312 オイラー関数の性質

フェルマーの小定理を一般化したオイラーの定理について，またオイラー関数の性質について。

問題

説明

互いに素な整数の数は，オイラー関数と呼ばれる重要なものである。

オイラー関数については，以下の性質がある。特に上から2つ目の乗法性が，さまざまな性質の根幹ともいえる。

オイラー関数の性質を考える上で，剰余類を使うことにする。

解答

オイラーの定理の証明。nと互いに素なn以下の正の整数の集合と，この要素のそれぞれにaを乗じた集合について，これは順序の違いを除けば一致する。

これより，2つの集合は合同であり，Bで括ることができる。さらに，Bはmと互いに素なので，合同式からBを割ることができ，オイラーの定理が得られる。

オイラー関数ついていろいろな性質がある。これは約数の個数を数えることでわかる。

肝は乗法性。既約剰余類で表すことで，個数と写像が結びつく。また，証明の過程で中国剰余定理を用いる。

この性質は一見複雑だが，乗法性を用いればすんなり示せる。

最後に，約数の個数に関する式。

参考：

乗法性についての証明が丁寧で参考になる。

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