書記が数学やるだけ#741 正規拡大・分離拡大とガロア拡大

「正規拡大かつ分離拡大」と「ガロア拡大」の必要十分性を示していく。

問題

説明

正規拡大と分離拡大の定義は以下のとおりである。

解答

f(T)を以下のように分解するとき，これがK係数の最小多項式であることを示す。

これより「ガロア拡大」→「正規拡大かつ分離拡大」が示せる。

次にその逆を示す。準備として分離多項式，最小分解体とガロア拡大の関係を示す。

ここで以前示した体の延長を用いる。

ここで「正規拡大かつ分離拡大」→「分離多項式の最小分解体」を示す。

以上をまとめると「正規拡大かつ分離拡大」→「ガロア拡大」を示すことができる。よって必要十分性が示せた。

最後にガロア閉包の存在を示しておく。

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