書記が数学やるだけ#98 チェビシェフ多項式，その他重要な多項式

今回もフーリエ解析のための前段階について。大学入試でよく出るチェビシェフ多項式について，またその他重要な多項式について見ていくことにする。

問題

チェビシェフ多項式についての，親切な誘導がついた問題である。

こちらはエルミート多項式を背景としている計算問題。

説明

詳細はフーリエ解析のときに説明するが，「直交」という考え方は頭に入れておきたい。

ルジャンドル多項式は，以前に取り上げた。右枠は，多項式が直交関数系であることを示している。

参考：

それぞれをプロットしたものがこちら（赤線は区間端）。

チェビシェフ多項式は，cosθのn倍角の式であり，フーリエ解析において重要な意味を持つ。

エルミート多項式，量子力学で登場する多項式である。

ラゲール多項式。

解説

加法定理を使って式変形する。

3倍角について，ここでは上の誘導を使うと楽に出せる。

多項式であることの証明には，数学的帰納法（一昨年法）を用いる。

ここで面白いことに，あるcosθが無理数（例えばcos1°）であることを，多項式から示すことができる。

こちらは，積の微分を淡々とこなすだけ。e^(x^2)とかいうごっつい項が，うまいこと消えてくれる。

多項式についての漸化式。

先ほどと同様，数学的帰納法を用いて多項式であることを証明する。

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