書記が数学やるだけ#867 マイヤー・ヴィートリス完全系列を用いたホモロジー群の計算

ホモロジー群を計算する上で有用なマイヤー・ヴィートリス完全系列について。

問題

説明

マイヤー・ヴィートリス完全系列は，…「ホモロジー群の次数を下げる」→「AかつB」→「AとBの直和」→「X」→「ホモロジー群の次数を下げる」→…といった完全系列であり，複雑な構造のホモロジー群を部分ごとに分割して計算するツールである。

解答

まず，0→「AかつB」→「AとBの直和」→0，という完全列の存在を示す。

これを前回示した連結準同型に当てはめることで，マイヤー・ヴィートリス完全系列が構成できる。

具体例について，S1を分割するXとYに分けて，完全系列を図示する。あとは既知のホモロジー群を準同型定理に当てはめることで，残りのホモロジー群を計算する。

2次元球面では，完全系列が3段階に増えるが，やることは1次元と同様。

トーラス面について，XとYの共通領域は変位レトラクトにより円周と同型であることを利用。

実射影平面は，円板の境界とメビウスの帯を貼り合わせたものであり，それぞれX,Yとして完全系列を構成する。

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