書記が物理やるだけ#196 クローニッヒ・ペニーのモデル

深さ有限の井戸型ポテンシャルと，その応用であるクローニッヒ・ペニーのモデルについて。

問題

説明

クローニッヒ・ペニーのモデルは，結晶内での電子の挙動を近似的に記述する量子力学的なモデルの1つで，バンド理論の基礎となる。

ハミルトニアンが空間的な周期性（並進対称性）をもつ場合には，ブロッホの定理が成り立つ。

解答

以前示した1次元ポテンシャル束縛問題の性質を駆使していく。

波動関数は偶関数か奇関数かであることから，具体的な形を絞っていく。

なお，束縛条件が存在する条件について，偶パリティの場合は常に起こるが奇パリティの場合はある値以上でないと起きないといった違いが見られる。

応用としてクローニッヒ・ペニーのモデルを考える。準備として並進移動の演算子について性質を示しておく。

この固有値からブロッホの定理が示せる。

非自明な解を持つにはロンスキアンが0になることが必要十分である。

具体的なバンド構造の波形は以下のように示すことができる。ここで解が存在する区間（エネルギーバンド）と存在しない区間（バンドギャップ）があることが重要。

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