書記が数学やるだけ#582 1次元の流れ，ロジスティック方程式

力学系について，まずは1次元の流れから見ていく。

問題

説明

力学系は，時間による状態変化を伴うシステムのことを指す。

1次元の場合，以下のようなベクトル場の可視化が便利である。

実際のモデルについて。マルサスモデルは，「生物の個体数の増加速度が，
個体数自体に比例」することを記述している。

これに上限を定めたものがロジスティック方程式である。この解はロジスティック曲線で表され，初期値によりその挙動が変化する。

解答

普通に解を求めてみると，なかなか複雑な式になってしまい挙動が分かりにくい。そこで，ベクトル場を記述すると，固定点がどこで安定かどうかが一目見てわかるようになる。

なお，線形化を行うことにより，1階導関数を見れば固定点とその安定性がわかる。

ロジスティック方程式について，解を求めるには変数分離法を用いる。

ベクトル場を描くと，N=Kに収束することが簡単にわかる。

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