書記が数学やるだけ#957 圏の定義，モノ射とエピ射

今回から圏論を扱っていく。

問題

説明

圏とは、対象とそれらを結ぶ射からなる構造である。射どうしは一定の規則に従って合成でき、どの対象にも恒等射が存在する。さらに、射の合成は結合律と単位律を満たす必要がある。

ある圏から、その構造を利用して別の圏を作ることができる。

モノ射とは、射を合成したときに、その手前にある射の違いが失われないような射である。集合の圏では、異なる要素を同じ要素に移さない単射に対応する。
エピ射とは、射を合成したときに、その後に続く射の違いを見分けられるような射である。集合の圏では、終域のすべての要素に到達する全射に対応する。

解答

写像の合成は再び写像となり、合成は結合律を満たす。また、各集合には恒等写像が存在する。したがって、集合と写像は圏をなす。

二つの順序関係を続けることは推移律によって射の合成に対応し、反射律によって各対象の恒等射も存在する。また、射は二つの対象の間に高々一つしかないため、結合律も満たされる。したがって圏をなす。

狭義の大小関係では、自分自身への関係が成立しない。そのため各対象の恒等射を作ることができず、圏をなさない。

モノイドの元を一つの対象から自分自身への射とみなす。モノイドの積が射の合成、単位元が恒等射に対応し、結合律も満たされるため、モノイドは一対象の圏とみなせる。

モノ射だがエピ射ではない例
異なる元が同じ元に移されることがないため、合成後の写像が等しければ、合成前の写像も等しくなる。したがってモノ射である。一方、終域にはどの元からも移されない元があるため、その元でだけ値が異なる二つの写像を作ることができ、エピ射ではない。

エピ射だがモノ射ではない例
二つの異なる元が同じ元に移されるため、異なる二つの写像でも合成後に同じになる場合があり、モノ射ではない。一方、終域のすべての元が像に含まれるため、合成後の写像が等しければ元の写像も等しくなり、エピ射である。

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