書記が数学やるだけ#137 真理値表，命題代数

今回からいわゆる「集合と位相」の分野を開拓していく。まずは，どうしても必要な数理論理学の初歩から。

問題

記号に慣れるところから始める。

説明

「pかつq」「pまたはq」「pでない」についての，式と真理値表。ここで，真をT，偽をFとする。

命題代数で覚えておくことは，そう多くはない。あとは式変形を繰り返すのみ。

命題代数では，記号の入れ替えについて成り立つ「双対原理」が重要。上に示した法則は，いずれもその双対同値式についても成り立つ。

「pならばq」，必要条件と十分条件について。仮定が偽の条件は真である点に注意，こうすると計算上都合がいい，程度の理解で十分だろう。

必要十分条件と同値は同じ意味である。以後，同値はさまざまな場面で見かけることだろう。

全称記号はAをひっくり返したもの（All-Zeichenの意味），存在記号はEをひっくり返したもの（existの意味）。

解法

それぞれについて，真理値表を書いていく。

ここで，「ならば」の否定は「ならば」を含まない点に注意。

大学入試でたまに見かける対偶について，真理値表を用いれば容易に示すことができる。

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