書記が数学やるだけ#918 2次体における素イデアル分解

素イデアル分解の証明を追っていく。

問題

解答

デデキント環の最大の特徴は、「包含関係 (⊂) が割り切れること (∣) と等価である」という点にある。

(2)の性質は，整数の性質「素数 p が積 bc を割り切るなら、p は b または c を割り切る」をイデアルに広げたものである。

通常の数であれば ab=ac かつ a≠0 なら両辺を a で割って b=c とできるが、イデアルでも同様の「簡約」が可能であることを示している。ここでデデキント環の極めて重要な性質として，任意の非ゼロイデアル A に対して「分数イデアル」の世界で 逆イデアル A^−1 が存在することを用いる。

素イデアル分解の証明は「存在」と「一意性」の2段構えで行う。
・存在: イデアルのノルム N(A)（有限集合 OK /A の要素数）に関する数学的帰納法を用いる。A が素イデアルでないなら A=BC と分解でき、ノルムの乗法性 N(A)=N(B)N(C) から、よりノルムの小さいイデアルの積へと帰着させる。
・一意性: P1 …Pr =Q1 …Qs  と2通りに書けたと仮定する。P1  が右辺を割り切ることから、上記①-(2)の性質により、ある Qj  が P1  に等しいことがわかる。両辺を逆イデアルで割る操作を繰り返すことで、分解が一致することが示される。

なお，一般のデデキント環においては，ネーター環の性質を用いることで同様に証明が可能である。

イデアルの和 ，積 ，共通部分 についての等式を証明しておく。

この環では、数値の 6 は次のように2通りの因数分解ができてしまう：6=2×3=(1+√−5)(1−√−5)。しかし、これらをイデアルとして考えると、共通の「素イデアルの部品」に分解される：p=(2,1+√−5)，q=(3,1+√−5)，q′=(3,1−√−5)。これらを用いることで，各要素が生成するイデアルは一意に分解される。

A=p^2，B=pqの場合において等式を確認しておく。

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