書記が物理やるだけ#363 部分波展開，光学定理

前回の準備をもとに部分波展開を示していく。

問題

説明

部分波展開では，波動関数を決まった軌道角運動量ごとに分解していく。

光学定理は，前方散乱における全断面積と散乱振幅の関係を示す。

解答

部分波展開の式は天下り的に与えるとして，散乱振幅を計算する。ここで，遠方における近似を用いた。

散乱全断面積では，ルジャンドル多項式の直交性を用いる。

ここで，位相のずれを以下で示すと，遠方における散乱波の動径方向の変化は位相の変化のみであることが示せる。

これにより，光学定理は容易に示される。

具体例として，剛体球ポテンシャルに平面波が入射した場合を扱う。

動径方向の波動方程式の解より，散乱全断面積は幾何学的断面積πa^2の4倍となる。

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