書記が数学やるだけ#197 x=aで連続，区間Iで連続

今回から「関数の連続性」について扱う。いくつか種類があるので，判別が重要。

問題

ε-δ論法にも慣れてきた頃だと思うので，ここでは代表例は1つずつにとどめておく。

また連続性の具体例について，一部は高校数学でもやっただろうが，ここでは厳密に示すことにする。

説明

x=aで連続について。

区間Iで連続，点から区間への拡張。ここで，δはεと点aに依存することを見逃してはいけない（次回やる一様連続との違い）。

解答

連続性の証明は，ε-δ論法で極限と同じようにできる。

具体例について。やることはδ(ε)を見つけるという，今までやったことと同様のことである。

連続でないことは，否定命題を用いて示す。

ディリクレ関数がいたるところ不連続であることの証明は，まさにε-δ論法の出番である。

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