書記が数学やるだけ#928 逆関数定理、陰関数定理、階数一定定理

多様体の性質の準備として，逆関数定理、陰関数定理、階数一定定理について確認しておく。

問題

説明

逆関数定理は，点 a における写像 F のヤコビ行列 DF(a) が正則（行列式が 0 でない）ならば，その点の周辺で F は滑らかな逆写像 F−1 を持つことを示す。

陰関数定理は，方程式 f(x,y)=0 において、ある変数に関する偏微分が 0 でないならば、その変数を他の変数の関数として局所的に一意に解くことがでることを示す。

階数一定定理は，写像 f のヤコビ行列の階数（ランク）が、ある領域内で一定の値 k をとるとき、適切な座標変換（局所座標系の取り替え）を行うことで、その写像を単なる成分の抜き出し (x1 ,…,xn )↦(x1 ,…,xk ,0,…,0) という形式に変換できるという定理である。なお，逆関数定理・陰関数定理・階数一定定理は全て同値の定理である。

解答

ヤコビアンが 0 でなければ，その点では空間が「潰れていない」ため，1対1の対応（局所同相）が保証されることが逆関数定理から示せる。

陰関数定理より，方程式をある変数で微分した値が 0 でなければ，その変数について関数として解くことができます。今回の場合はxでは解けるが，yでは解けない。

階数一定定理より，原点を除けばこの写像のランクは常に 1であるため，適切な座標（例えば極座標の r）を使えば，どんな点でも「ある方向への変化だけを取り出す射影」としてシンプルに記述できる。

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