書記が経済やるだけ#28 混合戦略の具体例

戦略型ゲームに確率を導入していく。

問題

じゃんけんグリコの問題が過去に東大で出題された。

説明

今まで考えてきた純粋戦略に対し，混合戦略では戦略を確率で選ぶことが追加される。そこでは，利得の期待値である期待利得を考える。証明は後日与えるが，混合戦略においては，ナッシュ均衡が必ず存在することが重要である。

ゼロサムゲームとは，利得の和が常に0になるゲームである。ミニマックス定理とは，各プレイヤーがマックスミニ戦略とミニマックス戦略を取ることが最適戦略として一致することを示したものである。

解答

サッカーのPK戦は，お互いに左右どちらかを選ぶ戦略型ゲームとみなすことができる。まずは純粋戦略とみなして考える。ここで，キッカーが右利きであることがわかっているものとすると，キッカーのマックスミニ戦略は右，キーパーのミニマックス戦略は右となる。しかし，この場合はナッシュ均衡は存在しない。もし確定的に動くならば，キッカーからすればお互い別方向に，キーパーからすればお互い同方向に動くしかないためである。

ここからは確率を導入した混合戦略を考える。まず1の最適反応戦略について，2が確率qで左，1-qで右を選ぶ場合，1が左・右を選ぶときの期待利得はqの関数で表せる。

これより，q<0.2のときは左を確定的に選ぶこと（p=1），q>0.2のときは右を確定的に選ぶこと（p=0），q=0.2のときは全てのpが最適反応戦略となる。

2の最適反応戦略も同様に計算する。

これより，p>0.4のときは左を確定的に選ぶこと（q=1），q<0.4のときは右を確定的に選ぶこと（q=0），p=0.4のときは全てのqが最適反応戦略となる。

これらをまとめると，最適反応曲線の交点よりp=0.4・q=0.2のときナッシュ均衡となる。

1のマックスミニ戦略について，p=0.4のときにマックスミニ値0.58となる。

一方で2のミニマックス戦略について，q=0.2のときにミニマックス値0.58となる。この結果より，1のマックスミニ値=2のミニマックス値（ミニマックス定理）が成立しており，1のマックスミニ戦略・2のミニマックス戦略がナッシュ均衡であることが言える。

3人ゲームであるじゃんけんグリコが東大で出題されていた。とはいえ，期待値の概念がわかっていれば難しくはない。

まず，Bが全ての手を等確率で出す場合は，チョキを出し続ける場合に期待値が最大となる。パーは勝ったときの点数が大きいが負けた時に失点が大きいことを反映した結果が出ている。

次にBが何らかの確率で出す場合，Eが0以上となるのは不等式よりグー：チョキ：パー=5:6:3の割合で出した場合のみであり，これが最適反応戦略となる。これはちょうど得点分布を横にスライドした形となっている。

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