書記が数学やるだけ#697 二項係数の計算問題

以前の記事の続編：

問題

入試問題のうち(4)は誘導なしで出題され，かなりの難問であっただろう。

解答

(3)を解くために(1)(2)を誘導として用いる。(1)を求めるには(1+x)^nの二項展開について，両辺を微分した式に1を代入する。

さらに微分すると(2)が得られ，うまく組み合わせることで(3)が求められた。

(4)について，二項係数以外の部分を見ると(1+x)^nの積分で出てきそうな形をしている。実際その通りで，両辺を-1~0で積分することで求めることができる。

数列和に単独のkを含まない方が厄介だったりする。ここからは二項係数に関する公式を駆使していく。

最後にkを5つ含む式を解いてみる。この場合はkを減らすように展開していくのが定石。最後はnの値により場合分けが必要になる。

本記事のもくじはこちら：