書記が数学やるだけ#703 多様体における関数と写像

関数と写像について，多様体に拡張していく。

問題

ここではwell-definedの証明を行うことにする。

説明

多様体MからRの関数を考えるには，一旦R^nを経由して合成関数を考える。

より一般に，多様体Mから多様体Nへの写像を考えることができる。

解答

関数のwell-definedについて，以下の図式で考える。ポイントは座標近傍Uから座標近傍Vの座標変換が同値であること。

C級の合成もC級であることから定理が示せた。

次に写像のwell-definedについて，以下の図式で考える。やることは関数のときと同じで，C級の合成で示せれば良い。

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