書記が経済やるだけ#26 戦略型ゲームの支配戦略，ナッシュ均衡
今回からゲーム理論の話題を扱っていく。
問題
まずは戦略型ゲームから。
説明
ゲーム理論（ゲームりろん，英: game theory）とは，社会や自然における複数主体が関わる意思決定の問題や行動の相互依存的状況を数学的な数理モデルを用いて研究する学問である。数学者ジョン・フォン・ノイマンと経済学者オスカー・モルゲンシュテルンの共著書『ゲームの理論と経済行動』（1944年）によって誕生した。元来は主流派経済学（新古典派経済学）への批判を目的として生まれた理論であったが，1980年代の「ゲーム理論による経済学の静かな革命」を経て，現代では経済学の中心的役割を担うようになった。
協力ゲームと非協力ゲームの区別はジョン・ナッシュが1951年に発表した「非協力ゲーム」という論文の中で初めて定義された。ナッシュの定義によれば，協力ゲームにおいてプレイヤー間のコミュニケーションが可能でありその結果生じた合意が拘束力を持つのに対して，非協力ゲームにおいてはプレイヤーがコミュニケーションをとることが出来ず合意は拘束力を持たない。
戦略型ゲームは，プレイヤー集合・戦略空間・利得関数の 3 つの要素から構成され，利得行列として表すことができる。
より大きな利得を得ることができる戦略を強支配戦略，それ以上の利得を得られる戦略を弱支配戦略といい，プレイヤーは何らかの戦略に弱支配された戦略は選ばないことから支配戦略均衡が求められる。
ナッシュ均衡とは，他のプレーヤーの戦略を所与とした場合，どのプレーヤーも自分の戦略を変更することによってより高い利得を得ることができない戦略の組み合わせである。
解答
本ゲームにおいて，プレイヤーは1と2，1の戦略はUとD，2の戦略はLとRであり，例えば1がU・2がLを選んだ時，1は5の利得・2は1の利得である。このことを数式で表すと以下のようになる。
プレイヤー1から見て，プレイヤー2がLを選ぶなら利得はU>D，プレイヤー2がRを選ぶなら利得はU<Dであるため，プレイヤー1は支配戦略なしである。一方で，プレイヤー2から見て，プレイヤー1がUを選ぶなら利得はL<R，プレイヤー2がRを選ぶなら利得はL=Rであるため，プレイヤー2の戦略Rは弱支配戦略である。
ナッシュ均衡を求めるには，各プレイヤーの各戦略における最大利得を求め，プレイヤーに共通する組を選べば良い。上で各プレイヤーから見た最大利得は示しているため，これを重ね合わせることで，ナッシュ均衡は(U,R)と(D,L)であることがわかる。なお，弱支配されない戦略のみを用いたナッシュ均衡を支配されないナッシュ均衡といい，(U,R)のみ当てはまる。
支配戦略均衡を求める方法として，支配された戦略の逐次削除が挙げられる。ここで，強支配の場合は，どの順番で削除しても結果は一致する。
一方で弱支配の場合は，順番により結果が変わる。
本記事のもくじはこちら：
