書記が数学やるだけ#942 バナッハ空間の性質

今回から関数解析の話題を扱っていく。

問題

説明

バナッハ空間とは，ノルム付けられた線型空間であって，そのノルムが定める距離構造が完備であるものである。

バナッハ空間の例は以下の通り。

Lp空間がバナッハ空間であることは以前に示した。

解答

バナッハ空間であることを示す例として有界数列空間 ℓ∞ を扱う。特に完備性を示すのが重要である。

商空間 X/Y の完備性について，ノルムに inf（下限）が含まれているため直接コーシー列を扱うのが難しいため，「絶対収束する級数が収束するならば、その空間は完備である」という同値条件に持ち込む。

リースの補題は，リース・フリジェシュの名にちなむ補題であり，ノルム線型空間の中の線型部分空間が稠密であるための条件を明示する。

ノルム空間 X が有限次元であるための必要十分条件は、その閉単位球がコンパクトであることである。有限次元空間ではハイネ・ボレルの定理により「閉かつ有界」な集合はコンパクトであるが、無限次元空間ではこの性質は一般に失われ、閉かつ有界であってもコンパクトであるとは限らない。

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