書記が数学やるだけ#30 線積分とグリーンの定理で面積を求める

ベクトル解析で重要な線積分について，具体例から見ていく。今回で一旦微分積分は終わり。

問題

線積分の応用として，（実用性は薄いかもしれないが）面積を求めるという用途がある。

公式

線積分の定義について。ここではスカラー場における線積分を考える。

実際の問題では以下のように扱う。

グリーンの定理は，線積分と重積分をつなぐものである。

ベクトル解析によく出てくるものとして，以下の定理も重要。例えば，電磁気学におけるマクスウェルの方程式において，これらが活用される。

解法

PとQの値によって，面積であることが示せる。

この図形はアステロイドである。正攻法は高校数学でよく出る方法。

グリーンの定理を用いても，面積が計算できる。

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