書記が数学やるだけ#492 ディオファントス近似

無理数の近似法として重要な，ディオファントス近似について。

問題

説明

ディリクレの定理のディオファントス近似定理は，その後リウヴィルの定理など無理数や超越数の研究に大きく貢献することとなった。

解答

本問は無理数である√7を有理分数で近似しようというもの。

(1)は容易だが，(2)でそれをどう生かすかの発想が難しい。ここでは掛け算を行なってみるとうまくいく。

こちらは，連分数展開とディオファントス近似の関係を示すものとなっている。

分数の計算が煩わしい。

ここでディオファントス近似が示される。

実際に近似できていることの確認。

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