書記が数学やるだけ#863 ホモトピー同値，単連結と可縮

図形の性質を知るのに重要なホモトピー同値について。

問題

説明

位相空間におけるホモトピー同値は，位相同型よりも粗い同値関係を与える。

ホモトピー同値を保つ変換の例として，強変形レトラクトを挙げる。直感的には，点や線の拡大・収縮に相当する。

1点集合とホモトピー同値な図形を可縮という。これに密接する概念に，ある弧状連結空間の基本群が単位元のみを要素として持つ自明な群であるとき，これを単連結という。

ポアンカレ予想とは「単連結な3次元閉多様体は3次元球面に同相である」といった予想で，7つのミレニアム懸賞問題のうち2024年時点で解決されている唯一の問題である。

解答

n次元球体は1点集合とホモトピー同値であることは，包含写像・定値写像に対しホモトピーを設定すれば良い。直感的には，t=1を元の球として，tを小さくするにつれて球が縮小し，t=0で1点になるといったホモトピーである。このことから，n次元球体は可縮である。

同様にして円筒を縮めることで円周とホモトピー同値であることが示せる。

アニュラスは円周とホモトピー同値である一方で，円板は1点ホモトピー同値であることから，アニュラスと円板ははホモトピー同値でない。

可縮ならば単連結であることをここで示しておく。

1次元の円周の基本群はZと同値であることから単連結でない。一方で，2次元以上の球面は単連結であることが示せる。なお，この問題の逆がポアンカレ予想である。

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