書記が数学やるだけ#78 複素積分-3（留数定理の応用）
いよいよ，複素積分で特に重要とされる，留数定理について扱う。
問題
実関数の積分について，留数定理を用いることで解けるものがある。今回はその代表例を取り扱う。
説明
特異点の数だけ留数を考えて，それらを足すのが留数定理の概要である。
解法
この手の問題は，経験がものをいう。
原題の誘導にしたがってみる，まずは実関数を複素関数に書き直す。
留数を求めるのに極限の計算が面倒，ロピタルの定理などで処理する。最後に留数定理を用いて複素積分を求める。
この手の問題では，実関数を変換するのでなく，実軸における線積分で実関数が出てくるような複素関数と経路を決める。
コーシーの積分定理より，経路積分の和は0になることを利用する。
虚軸方向への積分が，R→∞のとき0に収束することを，不等式で評価する（この作業は特に慣れが必要）。
これらを整理して，最終的に，求めたい実関数の積分が求められる。
これはよく出る問題（nに具体的な値を指定していることが多い），なので練習を重ねておきたい。積分の経路は扇状に決めることにするのがポイント。あとはやることは(2)と同じ。
留数定理，コーシーの積分定理，不等式の評価，などなどを組み合わせて，実関数の積分を求める。
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