書記が数学やるだけ#229 数列の極限

改めて数列の極限について扱うことにする際，今まで位相空間論やε-δ論法などで説明していた事柄を解析学の順に並べ直してみる。

問題

説明

ε-N論法を用いた数列の極限。

参考：

有界について。

以前扱った，ε-N論法のテンプレを再掲。

数列の収束性を判断するのに，コーシーの判定法は基本である。

参考：

最大値maxと上限supの違いについて。

級数に関するコーシーの収束定理。

参考：

解答

一般に発散・収束の速さは「対数関数<べき関数<指数関数」である。本問題ではそのうちの「べき関数<指数関数」を示す。

一つの証明法は二項定理を用いる方法がある。

別解として，単調増加数列を作る方法もある。

nのn乗根の極限を求める問題，(1)と同じ戦略が使える。

二項定理を用いた不等式からはさみうちの原理に持ち込む方法。

今度は単調減少数列を作る。

有名問題で類題も多い，まずxのx乗根のグラフを書く。極値を知るためには対数微分法を用いる。

するとeで極大値を持つことがわかることから，目的の大小比較ができる。

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