書記が数学やるだけ#921 一般の整数環における素イデアル分解

素イデアル分解を一般の整数環に拡張する。

問題

説明

n 次代数体 K において、有理素数 p は O_K  の素イデアル P_i  を用いて以下のように素イデアル分解される。

有理素数 p が K で分岐するとは、ある i に対して分岐指数 e_i​>1 となることを言う。一方、すべての i に対して e_i​=1 である場合を不分岐と言う。

クンマー・デデキントの定理は、整数環 O_K  におけるイデアル分解を「有限体（mod p）上の多項式の因数分解」という具体的な計算に置き換える定理である。

解答

分岐指数と剰余類次数についての基本等式の証明について。まず、中国剰余定理を用いることで、全体の剰余環を各素イデアルごとの成分に分解する。 次に、各成分をさらに細かく分解し、それらが「剰余体」という小さな体の層が積み重なった構造であることを示す。このとき、各層の厚み（次元）がちょうど1であることを利用すると、1つの成分の大きさは「積み重なった層の数（分岐指数）」と「層自体の広さ（剰余類次数）」を掛け合わせたものになる。最終的に、これらすべての成分を合計した大きさが、もともとの代数体の次数と一致することから、基本等式が証明される。

有理素数 p が O_K  で分岐する（ある e_i >1 となる）ことと，p が体の判別式 dK  を割り切ることは同値である。
・不分岐の場合: 剰余環が体の直和となり、トレース形式が非退化であるため、判別式は p で割り切れない。
・分岐する場合: 剰余環がベキ零元を持つため、トレースが消失し、行列式（判別式）が modp で 0 になる。

p が O_K  の指数を割り切らないとき、最小多項式 f(x) の mod p での既約分解がイデアルの分解に対応する。

3次体 K=Q(α) における計算例について。

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