書記が経済やるだけ#30 繰り返しゲーム

ゲームを繰り返した場合，有限か無限かで最適な戦略が変わってくる。

問題

説明

有限繰り返しゲームの場合，常にナッシュ均衡となる戦略をとり続けるのが最適であり，囚人のジレンマの場合だとすべてのゲームで「裏切り」を選択することとなる。一方で，無期限繰り返しゲームの場合は，戦略により協調の可能性がある（フォーク定理）。

解答

囚人のジレンマをn回繰り返すゲームについて，バックワードインダクションで考える。最終回Tにおいて，利得は前までの行動によらずその回のみにより決まることから，T回目ではナッシュ均衡を選択する。

同様に，T-1回目でも前までの行動によらずナッシュ均衡を選択する。これを繰り返すと，1,2,…,T回目全てでナッシュ均衡を選び続けることとなる。

次に価格競争について，1期のみを考える場合はベルトラン・モデルで表され，2企業ともにコストcと同価格にする（利潤0）のがナッシュ均衡となる。ここでもし共謀して価格を吊り上げると，双方が抜けがけをしようとすることからナッシュ均衡ではない。

しかし，無期限となると抜けがけを抑止する方法がある，その一例がトリガー戦略である。今回の場合，双方がルールを守る間は吊り上げた価格を維持し，相手が裏切ってルールを破ったら永久にcとする，といった戦略を考える。

すでに誰かが裏切った場合は，cを出し続けるのが最適となる。一方でまだ誰も裏切っていない場合は，裏切らない場合と裏切った場合の利潤を計算すると，割引因子が1/2以上ならば裏切らない方が最適であることがわかり，協調ができていることとなる。

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