書記が数学やるだけ#109 フーリエ級数-1（三角波，のこぎり波，矩形波）

今回から，実際にフーリエ級数を求めてみる。

問題

説明

フーリエ級数（Fourier series）とは，複雑な周期関数や周期信号を，単純な形の周期性をもつ関数の（無限の）和によって表したものである。

フーリエ級数は現在となっては便利な道具であることを疑わないが，フーリエが提示した当時では関数列の収束性の議論が成熟しておらず，受け入れられるまでには時期を待たねばならなかった。

本記事ではこの収束定理について証明なしに用いることにする。

解法

偶関数なのでsinnxの項は0になる，よってcosnxの項だけ考えればよい。計算としては部分積分を行う。

実際に項を増やしていくと，三角波に近づいていくことがわかる。

また，このフーリエ級数にx=0（連続点）を代入すると，無限和の公式が得られる。

次にのこぎり波，今度は奇関数なのでcosnxの項が0になり，sinnxの項だけ残る。

項を増やしていく，が先ほどに比べるとどうも収束が遅いように見える。というのも，のこぎり波は不連続な点を持ち，その周辺では近似が悪くなるのである。

最後に矩形波。

やはりこちらも，不連続点のために誤差が見える。

次回もフーリエ級数について扱う。

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