書記が数学やるだけ#931 接束の性質

接束の性質について。

問題

説明

接束（TM）は、多様体 M の各点における接空間をひとまとめにした非交和である。自然な位相によってそれ自身が多様体となり、各ファイバーが接空間というベクトル空間で構成されるベクトル束の典型例である。最大の役割は、多様体間の滑らかな写像 f:M→N に対し、その微分 Df の定義域と終域を提供することにある：Df:TM→TN。

ファイバー束とは、ある空間（底空間 M）の各点に、別の空間（ファイバー F）を貼り合わせた幾何学的構造である。これは，多様体上の物理量や幾何学的情報を、各点の背後にある「内部空間」として整理・記述するために用いられる。

切断とは、底空間 M の各点 x に対し、その点の上にあるファイバー Fx  の要素を一つずつ割り当てる写像（s:M→E）のことである。特に接束 TM の切断は、多様体上のベクトル場そのものである。

解答

単射性の証明では「ϕ (v1 )=ϕ (v2 ) ならば v1 =v2  である」ことを示す。ここでは，点 M の座標部分，ベクトルの成分部分，ベクトルそのものが一致することが示していく。

全射性の証明では，R2n の像の範囲内にある任意の点 (a1,…,an,b1,…,bn) に対し、それに対応する v∈π^−1(Uα ) が存在する」ことを示す。

TM に位相を入れる標準的な方法は、各局所座標写像 ϕα  が同相写像になるように定めることである。

S1 は1次元多様体なので，接空間 Tp​S1 も1次元ベクトル空間（直線）である。θ 座標系では、∂/θ∂  が「反時計回りの単位速度ベクトル」として基底になる。またvθ  は、そのベクトルが「反時計回りにどれだけの速さ（成分）を持っているか」という実数である。

底空間 S1 の座標変換関数は h(θ)=ϕ=θ (または θ−2π) であることから，接束の遷移写像の一般公式に当てはめると，恒等写像となりC∞ 級であることがわかる。また，ベクトルの成分 vθ  が vϕ  へ移る際にヤコビ行列（今回は 1×1 行列）の値が常に 1 であることから，TS1 は大域的に S1×R と同一視できる。なお，容易に視覚化できる接束は実数直線 R と単位円 S1 の接束だけであり，これらはどちらも自明である。

本記事のもくじはこちら：