書記が数学やるだけ#927 フロベニウス置換の具体例

ここまで扱ってきたフロベニウス置換の具体例を見ていく。

問題

解答

円分体 K=Q(ζ_n ) のガロア群 G と乗法群 (Z/nZ)× の同型対応により、自己同型 σ_p :ζ_n ↦ζ_n^p  は、剰余体における p 乗写像（有限体のフロベニウス写像）と自然に一致する。

• p=5（完全分解）: 5≡1(mod4) より分岐指数 e、剰余次数 f ともに 1 となる。このとき分解群 Z および惰性群 T はともに自明群であり、フロベニウス写像は恒等写像 id となる。

• p=3（完全惰性）: 3≡3(mod4) より f=2 である。このとき分解群 Z はガロア群全体、惰性群 T は自明群となり、フロベニウス写像はガロア群の非自明な元である複素共役 σ（i↦−i）に一致する。

• p=2（分岐）: 分岐指数 e=2 であり、惰性群 T が自明とならずガロア群全体と一致する。このとき、剰余体への標準的な準同型が単射でないため、フロベニウス写像は定義されない。

中間体 K′ の剰余体 κ(P′) は、基礎体 F の剰余体 κ(p) の f′ 次拡大となる。ここで f′ は K′/F における剰余次数であり、この拡大次数がフロベニウス写像の冪乗関係を規定する具体例を確認する。

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