書記が経済やるだけ#29 展開型ゲーム，部分ゲーム完全均衡

次に展開型ゲームについて。

問題

説明

展開型ゲームでは，プレイヤーが交互に行動を決める。相手の行動が完全にわかる場合を完全情報ゲーム，そうでない時を不完全情報ゲームという。展開型ゲームは，ゲームの木・プレイヤー分割・偶然手番の確率分布族・情報分割・利得関数の5つの要素で記述できる。なお，展開型ゲームと戦略型ゲームは相互変換可能である。

なおしばらくは，全プレイヤーが自分の過去の選択肢を全て記憶しているゲームである完全記憶ゲームを前提とする。

解答

男女の争いでは，男女が同時に行動を選ぶため，互いにどちらを選んだかわからないという点で不完全情報ゲームに言い換えられる。この場合はナッシュ均衡が存在しないことは，展開型ゲームにおいても同様である。

女が行動を選んでから，その結果を踏まえ男が行動を選ぶ（レディファースト）場合は，以下のような完全情報ゲームとみなすことができる。このゲームにおいて，バックワードインダクションにより利得を遡ることで，女がAを選んでから男がAを選ぶのが最適であることがわかる。また，このゲームにおいてはナッシュ均衡も同じ結果である。

次のゲームは「ゲームをやめれば（L）一定金額もらえるが，続ける（H）と倍の金額を得るか金額を失うか」といったシチュエーションを想定している。本ゲームは不完全情報ゲームであり，ゲーム木・利得行列は以下の通り。

この場合，ナッシュ均衡は(LA,B)・(LB,A)・(HA,A)の3通りがある。しかし，例えば(LA,B)において，もし1がLでなくHを選んだ場合，2はBよりもAを選ぶはずであるため，最適とは言えない（(LB,A)も同様）。

そこで，問題を精緻化するために部分ゲーム完全均衡を考える。本ゲームでは全体の他に，「次のゲームとして両者A,Bのいずれかを同時に選択し，以下の利得を得る」が部分ゲームであり，そのナッシュ均衡は(A,A)のみである。よって全体のゲームの部分ゲーム完全均衡は(HA,A)のみである。

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