書記が数学やるだけ#824 正多面体群の性質
群論から表現論への話題をいくつか示していく中で，正多面体群は何回か見ていくことになる。
問題
①は中学入試の問題で，三角関数なしでどう求めるか。
説明
正多面体について，以前にオイラーの多面体定理を扱った：
対称性を考えるにあたって，正多面体の双対関係が重要である。例えば正六面体について面を中心とした回転軸は，正八面体の頂点を中心とした回転軸に対応する。
多面体群の性質を以下にまとめておく。
解答
中学受験で想定される解答は，2つの正四角錐を底面でくっつけて正八面体とし，さらに正六面体で外接することで高さのみから体積が導出される。さらにここでは，正六面体と正八面体の双対関係に注目しておく。
四面体群の位数について，3種類の回転軸を数えることで求める。
双対性より，六面体群と八面体群，十二面体群と二十面体群の位数は等しい。
四面体群は4次交代群と同型であることを示す。ここでは対称変換と置換が一対一対応することを示す。
厳密には，準同型定理と位数を用いることで同型が示される。同様の手順で，六面体群と八面体群は4次対称群と同型，十二面体群と二十面体群は5次交代群と同型である。
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