書記が経済やるだけ#3 スルツキー分解，弾力性

消費者行動の山場であるスルツキー分解を中心に見ていく。

問題

説明

前回までで効用最大化問題と支出最小化問題を扱ってきたが，この両者は双対の関係にある。

効用最大化問題において，効用は価格と所得に間接的に依存していると言うこともでき，これを間接効用関数という。中でも，間接効用関数の価格と所得に関する偏微分の比は需要関数である（ロワの恒等式）ことが重要である。

効用最大化問題と支出最小化問題の双対性から，需要曲線の傾きを代替効果と所得効果に分解することができる（スルツキー分解）。

最後に弾力性について，価格弾力性と所得弾力性に分けられる。

新たな概念として，所得弾力性が1より大きいものを贅沢品，1より小さいものを必需品という。

解答

スルツキー分解は，双対性の式に支出関数を代入して微分することで得られる。ここで前回扱ったシェファードの補題を用いている。

実際に代替効果と所得効果を計算してみる。

グラフで表したのが下図である。初期状態における需要量は(x,y)=(12,12)であり，効用は324である。xの価格が4から9に上がると，同じ所得の場合は予算線の傾きが変わり，これに応じて最適となる効用も変化する。

では，初期状態と同じ効用にするにはどれくらい所得が必要かは，所得を上げたときの予算線と元の無差別曲線との交点から求められる。ここで，AとBでは効用は同じであるが，xが値上げした分xの需要が減ってyの需要が増えている，この変化が代替変化である。一方で，Bで必要な所得が得られない場合にはCへと変化する，この変化が所得効果である。

別の例を用いて，需要関数→間接効用関数→支出関数→補償需要関数の一連の導出を示しておく。

スルツキー方程式・ロワの恒等式が成り立っていることを確認する。

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