書記が数学やるだけ#813 ヤコビの楕円関数の性質

楕円積分からヤコビの楕円関数の定義を示しておく。

問題

説明

ヤコビの楕円関数について，まずは楕円積分の逆関数で定義する。

ヤコビの楕円関数の性質として，三角関数に似た加法定理や微分積分が挙げられる。

解答

まずは微分について。

加法定理はsnのみ示す，計算は煩雑だが高校数学の範疇である。

逆関数による定義では定義域が-K~Kであったが，周期性により実関数へと拡張ができる。

具体例として，単振り子の厳密解を示してみる。まず，振れ角がθとなる時間tは楕円積分により表せる。

一方で，時刻tあたりの振れ角θはヤコビの楕円関数で表せる。

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