書記が数学やるだけ#730 多様体の向きづけ，単体・境界・鎖

多様体の向きづけ，および単体・境界・鎖について簡単に見ていく。

問題

説明

微分形式の座標変換はヤコビアンにより示される。ここで，多様体の積分は向きづけ可能なら座標によらない。

ヤコビアンから局所座標がわかり，向きづけ可能かどうかを判断することができる。

単体・境界・鎖について今回は簡単に確認しておく。

解答

微分形式から多様体の積分を考えていく。

座標変換則により式を整理し，ヤコビアンの中身が正（向きづけ可能）となる条件が不変となる条件である。

球面が向きづけ可能なことは見ればわかるが，計算では北極・南極2つの立体射影の交わりを考えていく。

メビウスの帯は向きづけ不可能の代表例といえる。計算では座標系が裏返っていることをヤコビアンで示す。

ここで単体について。

境界演算子について，境界の境界はないことが重要。

鎖から積分を定義するまでの流れを示す。

最後に単体の積分について，これは単なる計算問題である。

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