書記が数学やるだけ#422 ルジャンドル多項式，ボネの漸化式からの解法

ルジャンドル多項式についてはいろいろなアプローチがあるが，今回はボネの漸化式を起点に見ていく。

問題

説明

ルジャンドルの微分方程式を解く過程で，このような多項式が出てくる。

ルジャンドル多項式について，直交性が重要である。

解答

まずは具体的な式から。

それぞれ帰納法により示す。

グラフを書いてみると，確かにPn(1)=1，Pn(-1)=1or-1であることが確認できる。

微分を含んだ漸化式，式を代入して整理する。

n次のルジャンドル多項式は，n次以下のべき関数と直交することの確認。

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