書記が数学やるだけ#930 はめ込みと沈め込み，正則部分多様体と埋め込まれた部分多様体

部分多様体の性質をさらに掘り下げていく。

問題

説明

はめ込み（Immersion）とは、可微分多様体間の可微分写像であり、その微分がいたる所「単射」であるものを指す 。局所的に見れば、図形が潰れたり尖ったり（特異点を持ったり）することなく、滑らかな構造を保ったまま送り先の空間に入り込んでいる状態と言える。

沈め込み（Submersion）とは、可微分多様体間の可微分写像であり、その微分がいたる所「全射」であるものを指す 。これは、どの点においても写像によって影を落とした際に、ターゲットとなる空間の全方向を漏れなくカバーしている（次元が潰れていない）状態を意味する 。

一方、部分多様体の定義には以下の二つの側面がある。正則部分多様体は、親多様体のどの点を取っても、適切な局所座標系を選ぶことでその図形を「スライス」として表現できるような部分集合である 。また、埋め込まれた部分多様体は、図形を大きな空間へ埋め込んだ結果、自己交差や「遠くの部分が無限に近づく」といった不安定な挙動を持たない状態を指す。

解答

(1) 原点（t=0）において曲線が尖っており（尖点）、微分が 0 になる特異点を持つ 。この点において微分の単射性が失われるため、「はめ込み」の条件を満たさない。

(2) 原点で曲線が自分自身を横切る（自己交差）。各点での微分は 0 にならないため局所的には滑らかな「はめ込み」であるが、全体としては「埋め込み」ではない。

(3)  どの点においても勾配ベクトルが 0 にならず（常に全射）、レベル集合（等高線）が途切れたり尖ったりすることなく滑らかな曲線として描かれる。したがって、この写像は「沈め込み」である。

「正則部分多様体→埋め込まれた部分多様体」を示すには，
(i)スライス座標 を用いて、S 上に自然な k 次元の多様体構造が入る
(ii)包含写像 が「はめ込み（微分が単射）」である
(iii)i:S→i(S)が相対位相に関して同相写像である　を示せば良い。

「埋め込まれた部分多様体→正則部分多様体」の証明は以下の手順で行う。
(i)「はめ込み」の定義より、p∈S の近傍で M の局所座標 (U,ϕ) と S の局所座標 (V,ψ) をうまく選ぶことで、写像 i を記述
(ii)「埋め込み」の条件を用いて、十分小さな U を選べば、ϕ(S∩U) 全体がちょうどϕ(U)∩(R^k×{0}) と一致することを示す

本記事のもくじはこちら：