書記が数学やるだけ#880 ポアンカレ写像，フロケ理論の導入

周期解を扱う理論の導入を扱う。

問題

説明

ポアンカレ写像とは，連続力学系を離散力学系に簡約化する方法の一つで，特に周期軌道やカオス的軌道のような何度も回り続けるような流れを調べるに効果を発揮する。

流れが周期軌道を持つときは，その周期軌道の近傍でポアンカレ写像の存在が保証される。

フロケ理論は，区分的連続な周期Tの周期関数を含む線型微分方程式の解のクラスに関する理論で，フロケの定理は共通の線型系の各基本解行列に対する標準形を与える。

解答

フロケの定理の証明では，基礎解行列に対しモノドロミー行列を定義し，そのジョルダン分解から示す。なお，モノドロミー行列の固有値がフロケ乗数であり，システムの安定性に関する情報を含む。

リミットサイクルを持つ系について，ポアンカレ写像・フロケ乗数を求める。

行列で表される微分方程式について，まずε=0の場合のポアンカレ写像を示す。

実際の計算では指数行列の計算を含む。

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