書記が数学やるだけ#646 計量テンソル，ユークリッド計量

弧長を一般化するために，計量テンソルを導入していく。

問題

説明

計量テンソルは，一般の弧長を定義する際に空間の局所ごとの構造を表すのに用いられる，階数2のテンソルである。

ユークリッド計量（ユークリッド距離）についていくつか例を示しておく。

解答

球座標のユークリッド計量を手計算で示しておく。

アフィン座標については，コサインの定義から導出することができる。

具体的な計算について，まずヤコビアンからユークリッド計量を求め，弧長を求めていく。この曲線を変数変換すると，直交座標では(0,0)と(6,8)を結ぶ直線であることがわかる。

青線はパスカルの蝸牛系（リマソン）と呼ばれる曲線で，これに直交する曲線について極座標上で考える。

直交性を示すには，一般化した内積gUV=0を示せば良い。U,Vは接ベクトルから求める。

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