書記が数学やるだけ#868 シーザー暗号・アフィン暗号・ヒル暗号の構成

今回から暗号理論を扱っていく。まずは古典暗号の代表例を示していく。

問題

シーザー暗号・アフィン暗号・ヒル暗号を数式で表す。

説明

暗号の数式的表示は後日与えるとして，「送信者が平文を暗号化して送信し，受信者はそれを復号して平文を得る」ことで，送信中に第三者に傍受されても内容がわからないようにすることができる。

古典暗号とは，コンピュータは登場する以前から用いられていた暗号を指し，その歴史は長い。

シーザー暗号は，単一換字式暗号の一種であり，平文の各文字を辞書順で3文字分シフトして暗号文とする暗号である。古代ローマの軍事的指導者ガイウス・ユリウス・カエサルが使用したことからこの名称がついた。

なお同類の暗号に13文字シフトするROT13があり，1980年代初めから一部の購読者に不快をもたらす冗談を隠す手段として，あるいは単に冗談の落ちをうっかり読ませないために一時的に隠す手段として用いられるようになった。

拡張として，乗算と加算からなるアフィン暗号がある。

ヒル暗号は，アルファベットをn文字に区切りn×n行列をかけることで構成できる。

解答

シーザー暗号（シフト数3）：WKLQNLQJ LV SRZHU

について，シフト数が3なので、逆に3文字戻すと元の文字になる。

W → T, K → H, L → I, Q → N, N → K, L → I, Q → N, J → G

L → I, V → S

S → P, R → O, Z → W, H → E, U → R

より，復号文は「THINKING IS POWER」となる。

アフィン暗号は合同式により解くことができる。

ヒル暗号における復号鍵は，暗号鍵の逆行列である。2×2行列であることから2文字区切りで考えればよく，HI=(7,8)とAT=(0,19)に復号鍵を左からかけることで平文が得られる。

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