書記が数学やるだけ#228 有理数の小数表示

まずは実数について基礎づける。

問題

(1)大学の最初にやるであろう内容を挑戦枠で先取りする。

(2)発想，計算量ともに中学入試とは思えない難問。

説明

数，というものは以下のように体系づけられる。

有理数と無理数の稠密性については以下で説明した。

参考：

実数の定義には色々あるが，ここではデデキント切断を起点とすることにする。

参考：

演算に必要な定義。

解答

まず有理数の定義を示す。これより整数と有限小数が有理数であることは容易に示せる。

問題は循環小数で，どのような構成かを考えると，整数or有限小数に無限等比数列を加えたものだといえる。

このことから，「循環小数→有理数」であることは簡単に示せる。

本題は「有理数→循環小数」を示せるか。ここで，循環小数が出てくる仕組みを考え，商の数字列に着目する。

余りrがどこかで0になることはない，またp以上になることもないので，余りはすべてp-1以下であることがわかる。つまり，鳩の巣原理より，p個の余りのうち少なくとも2個は一致することがいえる。

ということは，どこかで同じ数字列が現れるということで，これが循環小数に他ならない。よって「有理数→循環小数」が示せた。逆に，循環しない無限小数は無理数である。

1/9998について，循環小数なのだろうと予想はつくが，実際に割り算を行うとなかなか循環しない。代わりに，4桁ごとに2の累乗が現れていることから，小数点以下の数字が推測できる。

ところが，2の累乗には4桁に収まらないものも当然出てくる。そのため，繰り上がりを考慮しなければならない。小数第96位に至っては，2^25乗まで計算した上で前の桁からの繰り上がりも考えなければならない，超難問である。

1/9998は，循環小数の生成を応用した，無限等比級数の和で綺麗に示すことができる。

参考：

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