書記が数学やるだけ#480 円周率が無理数であることの証明

円周率が無理数であることについて。

問題

ネイピア数が無理数であることは以前に扱った。

またしても阪大，今度は円周率である。誘導通りに進むだけだが，恐ろしく計算の量が多い。

解答

最初の不等式は見慣れたものだろう。

一見よく分からない積分だが，とりあえず示してみる。

その中身を計算するために，部分積分を繰り返し適用する。

次いで漸化式を示すのだが，ウォリス積分に比べはるかに計算の量が多い。

上で示した漸化式から，πを有理数と仮定するとAnは正整数であり，その無限和は無限大であることが分かる。しかし(1)よりこれは有限の値であるはずで矛盾。よって円周率は無理数であることが示せた。

円周率が無理数であることは，1761年にヨハン・ハインリヒ・ランベルトが証明，1806年にルジャンドルによって補われたことで示された。その後，1882年にフェルディナント・フォン・リンデマンによって，円周率が超越数であることが証明された。

本問は，1945年イギリスのメアリー・カートライトによる証明を元にしたものと考えられる。これ以外にも，1947年カナダ出身のイヴァン・ニーベンによる証明も，初等的な解法として有名である（いずれ入試問題として出題される可能性あり？）。

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